Numeri primi e crittografia: è amore?

Dopo una giornata di in ufficio, un gruppo di amici sta prendendo un aperitivo in un locale prima di tornare a casa: fra loro Alice e Bob che, per rilassarsi, fanno due chiacchiere.

Alice – Ti vedo un po’ provato Bob, giornata difficile eh? Non me ne parlare, solo riunioni, riunioni, riu…

Bob [interrompendola] – … magari fossero le riunioni! Almeno lì puoi argomentare con le chiacchiere e generalmente ti chiedono conto di quel che sai o dovresti saper fare!

Alice [incredula] – Sarà, ma il 99% delle riunioni a cui sono invitata sono solo una perdita di tempo, mentre ho sempre cose più importanti da fare. Ma quindi [maliziosamente] sei stanco perché una volta tanto invece di fare riunioni ti hanno fatto lavorare…

Bob – Peggio. Stasera, come ieri sera, mi toccherà stare fino alle undici a fare i compiti insieme a Zoe. Un incubo! Non mi ricordo niente, anzi forse quella roba non l’ho mai saputa!!!

Alice – Ma scusa non fa la quarta elementare?!?

Bob – Infatti… e deve già studiare roba astrusa.

Alice [pregustando un divertimento inaspettato] – Astrusa? Tipo i congiuntivi?

Bob [sibilando] – Non raccolgo. No, tipo quei maledetti !

Alice – Maledetti?

Bob – Sì, ci fosse una cosa normale riguardo quella roba! Già il fatto che uno, il primo numero, non sia un numero primo la dice lunga…

Alice [ridendo] – A parte che il primo numero è lo zero, e poi se uno fosse considerato un primo molte proprietà dei numeri primi darebbero delle eccezioni. Meglio farli partire da due.

Bob – No, meglio lasciarli stare del tutto! Ma mi spieghi a che serve quella roba?

Alice – Guarda che se vuoi te lo spiego veramente, eh?

Bob  [dopo aver bevuto un po’ del suo drink] – Sai che mi piace farmi umiliare da te… E poi magari mi serve per fare miglior figura con Zoe ed evitare di stare lì a incaponirmi fino alle undici di sera.

Alice – OK, te la sei cercata. Intanto, se ci sei stato ore a incaponirti non c’è bisogno che ti dica che un numero intero positivo è primo se è divisibile per se stesso (come ogni numero), per uno (come ogni numero) e da nessun altro numero. Per esempio 7 è primo, dato che nessun intero fra 2 e 6 lo divide, mentre 6 è primo dato che si esprime come 2×3. OK?

Bob – Vabbe’ questo l’ho capito persino io. Quello che mi manda al manicomio è come si fa a dire se un numero è primo o meno. Sul libro ce n’era uno, lo so a memoria ormai, 8191. Che dovrei fare, verificare che ottomila e passa numeri non lo dividono per capire se è primo?

Alice [ridendo] – I matematici sanno fare di meglio: per esempio basta limitarsi a vedere che i numeri fra 2 e la radice di 8191 non lo dividono per capire se è primo. Ma, a livello più elementare, c’è per esempio il famoso “crivello di Eratostene” per questo e molte altre tecniche più moderne.

Bob – Già il “crivello” [facendo con le dita il segno del virgolettato] Che poi, che roba è un “crivello”? Ma a parte questo, ti pare che non l’ho dovuto studiare insieme a Zoe? Solo che questo crivello consiste nel trovare tutti i primi minori di un certo numero. Ma se io ti do un numero altissimo, come fai a sapere che è primo? Produci tutti i primi minori di lui? E, in ultima analisi, perché ce ne dovrebbe fregare qualcosa?

Alice [continuando a ridere] – Bob, ti stai scaldando, bevi un altro goccio del tuo drink mentre ti racconto una storia divertente e ironica al tempo stesso… Riguarda un signore che si chiamava Hardy, un raffinato intellettuale inglese di inizio ‘900 che recentemente è pure stato interpretato da Jeremy Irons nel film L’uomo che vide l’infinito.

Bob – Oddio, che vuol dire che ha visto l’infinito?

Alice [sospirando] – No, non era lui ad averlo visto ma il suo geniale allievo Ramanujan. Comunque non è di questo che volevo parlarti: questo Hardy si è occupato per molto tempo di analisi matematica e teoria di Fourier, argomenti molto belli e pieni di applicazioni pratiche.

Bob – Già mi piace questo Thomas Hardy!

Alice [gelidamente] – Quello era uno scrittore! Quello che dico io era un matematico, ma chissà che non ci siano dei punti di contatto, sicuramente erano contemporanei. Ma insomma, il mio Hardy (non ricordo il nome, scusa) era anche una persona molto avanti per la sua epoca, molto progressista e in particolare contrario a ogni forma di violenza e militarismo. Si dice che, quando capì che le sue ricerche di analisi potessero trovare applicazioni pratiche, e in particolare applicazioni militari, decise di rivolgersi alla branca più astratta e lontana dal mondo “reale” che la matematica gli mettesse a disposizione all’epoca: la teoria dei numeri.

Bob – E lo vedi che allora è roba astrusa?

Alice – Già, ma la matematica e il fato hanno il senso dell’ironia: infatti la teoria dei numeri cui Hardy contribuì notevolmente, anche scrivendo un libro che è stato il testo standard per decenni, ha avuto, a partire dal periodo fra le due guerre, applicazioni militari fondamentali e oggi è alla base non soltanto di tutti i sistemi militari, ma anche di molti sistemi civili e finanziari, come per esempio le transazioni bancarie.

Bob [quasi strozzandosi mentre beve il drink] – I numeri primi servono alle banche???

Alice – Mai sentito parlare di “”?

Bob – Sì, anche se per me è una parola esotica, o meglio esoterica, come “crivello”.

Alice – Supponiamo che io ti debba mandare un messaggio segreto – [ridendo] non metterti in testa niente di strano, eh?–  E che te lo mandassi per posta. Per mantenere il riserbo l’unica sarebbe cifrarlo in modo che, pure se lo leggesse qualcun altro, non riuscirebbe a capire cosa ti sto dicendo. Ci sono vari modi per farlo, ma quasi tutti questi metodi non sono a prova di “decifratura”. Solo uno, almeno fino a oggi, è sicuro e non decifrabile e si chiama “crittografia asimmetrica”: è un modo col quale si riesce a cifrare, cioè codificare, un messaggio usando una chiave e lo si può decodificare usando un’altra chiave.

Bob – Cioè è come se avessi una chiave per chiudere la busta e una per aprirla?

Alice – Bravo! La chiave con cui cifro il messaggio può essere pubblica, nel senso che se uno me la ruba saprà codificare un messaggio come lo codifico io, ma non saprà decodificarlo: per quello serve una chiave privata, che invece va custodita gelosamente. Quindi, se vuoi che ti mandi un messaggio segreto devi darmi la tua chiave pubblica, poi io lo codifico, e solo tu potrai decodificarlo con la chiave privata che custodisci gelosamente e non hai bisogno di rivelare a nessuno. Infatti, anche se qualcuno intercetta la chiave pubblica non può leggere i miei messaggi ma al limite scrivertene altri. È un po’ come l’IBAN di una banca: se qualcuno me lo ruba al massimo mi può fare un bonifico, mentre se mi rubano i codici di accesso al Bancomat mi svaligiano il conto!

Bob – Ti stupirò ma, al netto di come lo hai ben spiegato, quello che hai detto lo avevo letto da qualche parte e mi era quasi chiaro. Ma, ripeto, che c’entrano i numeri primi?

Alice – Proprio perché, come dicevi tu, è difficile dire se un numero è primo oppure no: ti risparmio i dettagli tecnici ma è possibile trasformare il compito di decifrare un testo in quello di verificare se un numero, altissimo, è primo oppure no. E quindi tutta la teoria dei numeri primi si applica in modo essenziale a queste tecniche di segretezza, senza le quali non esisterebbero le transazioni on line sicure per dirne una.

Bob – Sai che mi cogli sul vivo vero? Da acquirente on line compulsivo mi stai dicendo che continuamente cerco di capire se certi numeri sono primi oppure no.

Alice – Be’, non tu ma i software che usi per queste transazioni sicure, o presunte tali. Insomma tutto si basa sulla roba astrusa che, giustamente, fanno studiare a Zoe fin dalle elementari.

Bob [fissando il bicchiere col drink prima di svuotarlo] – Giustamente…

Alice – Alla fine ci sei arrivato a capire l’importanza dei primi.

Bob – Già, in questo caso è proprio vero che i primi saranno gli ultimi… a essere capiti da me!

Facebook Comments

Previous articleA Natale? Shopping da mobile, guidati da Intelligenza Artificiale
Next articleTre esempi di Economia Circolare alla Maker Faire di Roma
Paolo Caressa
Dopo aver conseguito la laurea e il dottorato di ricerca in matematica si è occupato per qualche anno di ricerca pura e docenze universitarie (facoltà di Ingegneria) per poi passare al mondo dell’industria, prima come consulente IT, poi come quantitative analyst nel campo della finanza e del risk management, per tornare infine al mondo IT come project manager, business analyst, consulente su metodologie, tecnologie, innovazione e formazione. Ha pubblicato due libri di storia della matematica (AlphaTest), un testo universitario di matematica (UAM) e diversi articoli scientifici, divulgativi e didattici su riviste di vario tipo. Tiene conferenze su argomenti fra matematica, IT e data science. Si occupa anche di formazione ed educazione, tenendo corsi sia in ambito professionale che come docente a contratto presso la facoltà di Ingegneria dell’Università “La Sapienza”.

LEAVE A REPLY

Please enter your comment!
Please enter your name here